लाभ, हानि और बट्टा (Profit, Loss And Discount) फार्मूला और ट्रिक

लाभ, हानि और बट्टा (Profit, Loss And Discount) फार्मूला और ट्रिक

लाभ और हानि से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए निम्नलिखित आधारभूत जानकारी आवश्यक है।
क्रय मूल्यः कोई भी वस्तु जिस मूल्य पर खरीदी जाती है तो उस मूल्य को उस वस्तु का लागत-मूल्य या क्रय-मूल्य कहते हैं।
विक्रय-मूल्यः कोई भी वस्तु जिस मूल्य पर बेची जाती है तो उस मूल्य को उस वस्तु का विक्रय-मूल्य कहते हैं।
लाभः जब किसी वस्तु का विक्रय-मूल्य वस्तु के क्रय-मूल्य से अधिक होता है तो उस वस्तु पर लाभ होता है।
∴ लाभ = विक्रय-मूल्य – क्रय-मूल्य
प्रतिशत लाभ = 
हानिः जब किसी वस्तु का क्रय-मूल्य, वस्तु के विक्रय-मूल्य से अधिक होता है तो उस वस्तु पर हानि होती है।
∴ हानि = क्रय-मूल्य – विक्रय-मूल्य
प्रतिशत हानि = 
उदाहरण 1. यदि एक किताब का क्रय-मूल्य Rs 15 तथा विक्रय-मूल्य Rs 40 हो तो उस पर होने वाले लाभ और लाभ प्रतिशत की गणना करें।
हल: दिया हुआ हैः
क्रय-मूल्य = Rs 15
विक्रय-मूल्य = Rs 40
लाभ = विक्रय-मूल्य – क्रय-मूल्य = (40 – 15) = Rs 25
लाभ को लाभ प्रतिशत में व्यक्त करने पर,
लाभ प्रतिशत  प्रतिशत
 प्रतिशत = 166.7 प्रतिशत
उदाहरण 2. यदि एक किताब का क्रय-मूल्य Rs 150 तथा विक्रय-मूल्य Rs 137.50 हो तो उस पर होने वाली हानि और हानि प्रतिशत की गणना करें।
हल: यहाँ क्रय-मूल्य = Rs 150
विक्रय-मूल्य = Rs 137.50
∴ हानि = 150 – 137.50 = Rs 12.50
हानि प्रतिशत  प्रतिशत
⇒ 8.33 प्रतिशत

प्रश्नों को हल करने की संक्षिप्त विधियाँ

जब किसी वस्तु का क्रय-मूल्य और प्रतिशत लाभ दिया हो तब,
विक्रय-मूल्य = क्रय-मूल्य 
उदाहरण 3. एक कुर्सी को Rs 470 में खरीदा जाता है और 10 प्रतिशत के लाभ पर बेचा जाता है। कुर्सी का विक्रय-मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल: दिया हुआ हैः
क्रय-मूल्य = Rs 470
और लाभ प्रतिशत = 10 प्रतिशत
∴ विक्रय-मूल्य = क्रय-मूल्य 
= 470 
=  = Rs 517
जब किसी वस्तु का क्रय-मूल्य और प्रतिशत हानि दिया हो तब,
विक्रय-मूल्य = क्रय-मूल्य 
उदाहरण 4. एक व्यक्ति ने एक मेज Rs 420 में खरीदी और उसे 15 प्रतिशत की हानि पर बेच दिया, तो मेज का विक्रय-मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल: मेज का क्रय-मूल्य = Rs 420
हानि: = 15 प्रतिशत
∴ मेज का विक्रय-मूल्य = क्रय-मूल्य 
= 420 
= Rs 357
जब किसी वस्तु का विक्रय-मूल्य और प्रतिशत लाभ दिया गया हो तब,
क्रय-मूल्य = विक्रय-मूल्य 
उदाहरण 5. एक कुर्सी को Rs 517 में बेचने पर 10 प्रतिशत का लाभ होता है। बताइये कुर्सी का क्रय-मूल्य कितना होगा?
हल: क्रय-मूल्य = विक्रय-मूल्य 
= 517 ×  = Rs 470
जब कोई दुकानदार अपने माल को क्रय-मूल्य पर बेचने का दावा करता हो किन्तु वह माप के दौरान कम वाट का प्रयोग करता हो तब, उसका प्रतिशत लाभ
= 
उदाहरण 6. एक दुकानदार प्रति किलोग्राम चावल को क्रय-मूल्य पर बेचता है किन्तु वह एक किलोग्राम वाट के स्थान पर इससे कम वाट का प्रयोग करता है। इससे दुकानदार को 100/8 प्रतिशत का लाभ होता है। वह एक किलोग्राम की जगह कितने ग्राम वाट का प्रयोग करता है?
हल: लाभ प्रतिशत
= 
अतः वाट में कमी = 0.11 किग्रा = 111.11 ग्राम
दुकानदार द्वारा प्रयोग किया गया वाट का मान
= 1000 – 111.11 = 888.89 ग्राम
जब किसी वस्तु का विक्रय-मूल्य और प्रतिशत हानि दी गई हो तब,
क्रय-मूल्य = विक्रय-मूल्य 
उदाहरण 7. राम ने एक घड़ी Rs 376 में बेची। यदि उसे 6 प्रतिशत की हानि हुई हो तो घड़ी का क्रय-मूल्य ज्ञात करें।
हल: क्रय-मूल्य = विक्रय-मूल्य 
= 376 ×  = Rs 400
जब दो वस्तुएँ एक ही मूल्य पर बेची जाएँ, एक वस्तु पर निश्चित प्रतिशत लाभ तथा दूसरी वस्तु पर उतने ही प्रतिशत हानि हो तो उस स्थिति में हमेशा हानि होगी। अर्थात्, प्रतिशत हानि
= 
उदाहरण 8. एक व्यक्ति अपने दो मकानों में से प्रत्येक को Rs 2365000 में बेचता है, एक मकान पर उसे 6 प्रतिशत लाभ तथा दूसरे पर उसे 6 प्रतिशत हानि होती है, पूरे लेन-देन में उसे क्या मिलता है?
हल: ऐसे प्रश्नों में सदैव हानि होती है, विक्रय-मूल्य कुछ भी हो।
हानि प्रतिशत =  
= (0.6) ² प्रतिशत = 0.36 प्रतिशत
स्मरणीय सूत्र
लाभ = 
हानि = 
विक्रय-मूल्य =  × क्रय-मूल्य
विक्रय-मूल्य =  × क्रय-मूल्य
क्रय-मूल्य = 
क्रय-मूल्य = 
जब माल क्रमिक तौर से गुजर रहा है
जब दो क्रमिक लाभ a% और b% होता हो, तो परिणामी लाभ होगा,
जब किसी सौदे में a% लाभ और b% की हानि होती हो, तो परिणामी लाभ या हानि प्रतिशत
क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न के अनुसार होगा।
जब क्रय-मूल्य और विक्रय-मूल्य में समान राशि (A) की कटौती की जाए और लाभ में वृद्धि हो, तब क्रय-मूल्य
= 
उदाहरण 9. एक टेबल को 20 प्रतिशत लाभ पर बेचा गया। यदि क्रय-मूल्य और विक्रय-मूल्य Rs 200 कम होता तो लाभ 8 प्रतिशत ज्यादा होता। क्रय-मूल्य ज्ञात करें।
हल: सूत्र द्वारा,
क्रय-मूल्य = Rs
= Rs 28 × 25 = Rs 700.
यदि वस्तु x का क्रय-मूल्य, वस्तु x के विक्रय-मूल्य के बराबर हो तब लाभ/हानि प्रतिशत क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न के अनुसार होगा,
उदाहरण 10. यदि 15 टेबल का क्रय-मूल्य, 20 टेबल के विक्रय-मूूल्य के बराबर हो तो हानि प्रतिशत ज्ञात करें।
हल: सूत्र के द्वारा, लाभ/हानि प्रतिशत
=  = -25% हानि, [चूँकि यह ऋणात्मक है।]

बट्टा (Discount)

किसी वस्तु के अंकित मूल्य में दी गई छूट, बट्टा कहलाता है।
जब बट्टा नहीं दिया गया हो तो ‘विक्रय-मूल्य’ और ‘अंकित मूल्य’ बराबर होता है।
बट्टा = अंकित मूल्य × बट्टा की दर
विक्रय-मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
बट्टा = 
उदाहरण 11. किसी वस्तु के क्रय-मूल्य में कितना प्रतिशत जोड़ा जाए जिससे 10% का बट्टा देने के बाद अंकित मूल्य पर 20% लाभ हो।
हल:  माना क्रय-मूल्य = Rs 100, तब विक्रय-मूल्य = Rs 120
फिर, माना अंकित मूल्य Rs X है, तब
x का 90% = 120
⇒ 
∴ अंकित मूल्य Rs  होना चाहिए।
या अंकित मूल्य, क्रय-मूल्य से  ज्यादा होगा
यदि X वस्तु के क्रय पर Y वस्तु मुफ्त में दी जाती हो यानी X के मूल्य पर (X + Y) वस्तु बेचा जाता है, तो बट्टा प्रतिशत =  × 100.
क्रमिक बट्टा
क्रमिक बट्टा में, अंकित मूल्य में से प्रथम बट्टा को घटाया जाता है जिससे प्रथम बट्टा के बाद कुल मूल्य प्राप्त होता है। अब इस मूल्य को अंकित मूल्य मानकर द्वितीय बट्टा की गणना की जाती है और इसे अंकित मूल्य में घटाया जाता है जिससे द्वितीय बट्टा के बाद कुल मूल्य प्राप्त होता है। इस तरह से हमें मुख्य रूप से कुल विक्रय-मूल्य प्राप्त होता है।
यदि क्रमिक बट्टा a% और b% हो, तो प्रभावी बट्टा  होगा।
उदाहरण 12. उस एकल बट्टे को ज्ञात करें जो क्रमिक बट्टे 15% और 20% के समतुल्य है?
हल: सूत्र द्वारा,
एकल बट्टा = 
=  = 32%
यदि किसी वस्तु का अंकित मूल्य दिया गया हो और इस पर बट्टा क्रमशः d₁ और d₂ हो तो,
अंतिम मूल्य = अंकित मूल्य 
उदाहरण 13. किसी वस्तु का अंकित मूल्य Rs 65 है। एक ग्राहक इस वस्तु को Rs 56.16 में खरीदता है क्योंकि इस पर उसे दो क्रमिक बट्टा मिलता है जिसमें से प्रथम बट्टा 10% है। दुकानदार द्वारा दिया गया दूसरे बट्टे की दर क्या है?
हल: पहले बट्टे के बाद वस्तु का मूल्य
65 – 6.5 = Rs 58.5
अतः, दूसरा बट्टा
=